Riemann se caracteriza por ser un matemático, que a pesar de publicar realmente poco, revolucionó cada tema que tocó. Hacia mediados del siglo 19 Riemann quiere ser profesor de matemáticas. Una de las pruebas que debe pasar es preparar un tema y exponerlo. Se debían presentar tres temas y el tribunal debía elegir uno de ellos, aunque por cortesía siempre pedían que el candidato expusiese el primero. Pero en el tribunal de Riemann estaba Gauss y desgraciadamente para Riemann el tercer tema que presentó tenía que ver con la geometría, de la que Gauss era un especialista. Viendo grandes posibilidades en Riemann el tribunal a instancias de Gauss pide a Riemann que prepare la conferencia sobre los fundamentos de la geometría. Sin mucho tiempo para su preparación, surge unas de las páginas más célebres de la historia de las matemáticas. Sin utilizar complicadas fórmulas, sino más bien su prodigiosa intuición geométrica, Riemann define de golpe el concepto que ahora denominamos variedad diferenciable y lo dota de una métrica. Da comienzo la geometría riemanniana. Sus implicaciones en matemáticas y física (en especial en la teoría general de la relatividad) son enormes. Irónicamente este trabajo no se publicó hasta muchos años más tarde y Riemann no publicó prácticamente nada más sobre la geometría a la que dió origen. Aunque solo sea una vez, cualquiera que se denomine matemático debe leer la conferencia de Riemann.
martes, 9 de noviembre de 2010
lunes, 8 de noviembre de 2010
El programa de Erlangen
Hacia mediados del siglo 19 se conocían una gran cantidad de geometrías. La clásica geometría de Euclides se veía acompañada por la geometría proyectiva, que aunque formulada tiempo atrás, obtuvo un impulso decisivo con los trabajos de Poncelet. Además de éstas, el nacimiento a principios de dicho siglo de las geometrías no euclídeas sumía a la geometría en un pequeño caos. El joven Felix Klein trabajó en Francia junto con su amigo Sophus Lie. Lie estaba trabajando en métodos generales de integración para las ecuaciones diferenciales, lo que le llevo a estudiar los grupos continuos de transformaciones, conocidos hoy en su honor como grupos de Lie. Puede que Lie influyera de manera directa o indirecta en las ideas de Klein sobre la nueva formulación de la geometría. En su presentación como profesor en la universidad de Erlangen, Klein pronunció una conferencia con el largo título "Consideraciones Comparativas sobre las Investigaciones Matemáticas Modernas", conocida hoy en día por el sobrenombre de Programa de Erlangen. En ella Klein asienta sobre el concepto de grupo todas las geometrías conocidas en aquella época. Para Klein, cada geometría da lugar a un grupo, formado por las transformaciones que dejan invariante los elementos geométricos. Sin embargo el nuevo profesor de Erlangen le da la vuelta a la tortilla: dado un grupo, estudiamos sus invariantes, lo que da lugar a una geometría. Desde entonces el concepto de geometría se confunde en gran medida con el estudio de los grupos.
Los 23 problemas de Hilbert
En el año 1900 se celebra en París el segundo congreso mundial de Matemáticas. Una de las ponencias principales corre a cargo de David Hilbert. El matemático alemán ya era considerado uno de los grandes por sus trabajos anteriores, en especial en la teoría de invariantes. Lo normal en estas ponencias era presentar un tema de investigación propio. Sin embargo Hilbert, a instancias de su amigo Minkowski, decide cambiar por completo la estrategia habitual. Hilbert, siendo como era un gran conocedor de todos los aspectos de la matemática, decide proponer durante su exposición una serie de problemas, que abarcan muchos de los temas de las matemáticas y que pueden servir de guía a los matemáticos. Tras largos meses de trabajo logra aislar 23 problemas relevantes. La exposición de Hilbert era esperada por todos los matemáticos. Debido a su longitud no puede exponer en la charla más que 10 problemas. La conferencia con los 23 problemas aparece publicada poco después, siendo traducida a varios idiomas rápidamente.
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