Hacia mediados del siglo 19 se conocían una gran cantidad de geometrías. La clásica geometría de Euclides se veía acompañada por la geometría proyectiva, que aunque formulada tiempo atrás, obtuvo un impulso decisivo con los trabajos de Poncelet. Además de éstas, el nacimiento a principios de dicho siglo de las geometrías no euclídeas sumía a la geometría en un pequeño caos. El joven Felix Klein trabajó en Francia junto con su amigo Sophus Lie. Lie estaba trabajando en métodos generales de integración para las ecuaciones diferenciales, lo que le llevo a estudiar los grupos continuos de transformaciones, conocidos hoy en su honor como grupos de Lie. Puede que Lie influyera de manera directa o indirecta en las ideas de Klein sobre la nueva formulación de la geometría. En su presentación como profesor en la universidad de Erlangen, Klein pronunció una conferencia con el largo título "Consideraciones Comparativas sobre las Investigaciones Matemáticas Modernas", conocida hoy en día por el sobrenombre de Programa de Erlangen. En ella Klein asienta sobre el concepto de grupo todas las geometrías conocidas en aquella época. Para Klein, cada geometría da lugar a un grupo, formado por las transformaciones que dejan invariante los elementos geométricos. Sin embargo el nuevo profesor de Erlangen le da la vuelta a la tortilla: dado un grupo, estudiamos sus invariantes, lo que da lugar a una geometría. Desde entonces el concepto de geometría se confunde en gran medida con el estudio de los grupos.
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